المستقيم في المستوى

المستقيم في المستوى


I -معلم مستوى – احداثيتا نقطة – تساوي متجهتين – شرط استقامية متجهتين:


1-معلم – إحداثيتا نقطة:


*نشاط:

لتكن I و J و O ثلاث نقط غير مستقيمية و M نقطة من المستوى و P
مسقطها على (OI) بتواز مع (OJ) و Q مسقطها على (OJ) بتواز مع OI)
1-أنشئ الشكل.
2-باعتبار x أفصول P بالنسبة للمعلم (O;I) و y أفصول Q بالنسبة للمعلم (O;J) أكتب OM (المتجهة OM) بدلالة x و y و المتجهتين OI و OJ .

تعريف1 :

كل ثلاث نقط غير مستقيمية و I و J و O تحدد معلما في المستوى

نرمز له ب (O;I;J) أو (O;OI;OJ) (متجهات)

ترميز و مصطلحات:

* المستقيم (OI) يسمى محور الأفاصيل .

*المستقيم (OJ) يسمى محور الأراتيب.

*إذا كان (OI) ⊥ (OJ ) فان (O;OI;OJ) يسمى معلما متعامدا .

*إذا كان (OI) ⊥ (OJ ) و OI=OJ فان (O;OI;OJ) يسمى معلما

متعامدا ممنظما.

تعريف 2 :

نقول ان الزوج (x; y) زوج إحداثيتي النقط M في المعلم (O;OI;OJ)
إذا وفقط إذا كان OM =xOI+yOJ نكتب (M (x;y .
العدد x يسمى أفصول M .
العدد y يسمى أرتوب M .


-2 إحداثيتا متجهة – تساوي متجهتين:

أ- احداثيتا متجهة:

زوج احداثيثي u في المعلم (O;OI;OJ) هو زوج إحداثيتي النقط M في المعلم (O;OI;OJ) حيث OM = u نكتب ( u (x;y

اذا كان (M (x;y في المعلم (O;OI;OJ) فان زوج احداثيثي u هو (x; y) نكتب (u(x;y .

*خاصية:

المستوى منسوب إلى معلم (O;OI;OJ)
u (x;y و (u'(x';y' متجهتان و α و β عددان حقيقيان
زوج إحداثيتي المتجهة αu + βv

ب- تساوي متجهتين:

*خاصية:

في مستوى منسوب إلى معلم (O;OI;OJ) ،نعتبر (u (x;y و u'(x';y متجهتين.
u=u' اذا وفقط اذا كان x = x' و y=y'

**خاصية:
في مستوى منسوب إلى معلم (O;OI;OJ) ،إذا (A(x;y و ('B(x';y فان ( AB(x'−x;y'−y


3- شرط استقامية متجهتين:

أ- محددة متجهتين:

لتكن (u(x;y و ('v (x ';y متجهتين .
العدد xy'−x'y يسمى محددة المتجهين u و v (في هذا الترتيب) نرمز له ب (det(u;v أو x y
x' y' x

*خاصية:

تكون u و v مستقيميتين إذا وفقط إذا كان det (u;v) =0

تكون u و v غير مستقيميتين إذا وفقط إذا كان det(u;v) ≠0

4 -منظم متجهة:

في مستوى منسوب الى معلم متعامد ممنظم .
إذا كان (u(x;y فان منظم المتجهة u يساوي جذر مجموع مربع الافصول و الارتوب.

II-مستقيم في المستوى:

1- مستقيم معرف بنقطة ومتجهة:

لتكن A نقطة و u متجهة غير منعدمة .
مجموعة النقط M حيث AM=tu ; t∈ IR هي المستقيم المار من A و الموجه ب u نرمز له ب (D (A; u

* إذا كان u و v مستقيميتين فان (D(A;u) =D(A;v
* إذا كان ( B ∈D(A;u فان (D(A;u) =D(B;u
AB موجهة للمستقيم (AB )

-2 تمثيل بارامتري لمستقيم:

مبرهنة وتعريف :

المستوى منسوب الى معلم (O;i ; j ) و (u (α ;β متجهة غير منعدمة و ( A(x0;y0نقطة.

كل مستقيم (D) مار من ( A(x0;y0 وموجه ب ( u (α ;βله نظمة على شكل :
x=x0+tα ; y=y0+tβ

تسمى هذه النظمة تمتيل بارامتري للمستقيم (D ) المار من(A(x0;y0
والموجه ب ( u (α ;β


-3 معادلة ديكارتية لمستقيم:

أ- مستقيم معرف بنقطة و متجهة:

-في مستوى منسوب إلى معلم
كل مستقيم (D) له معادلة على شكل ax + by +c =0 حيث
(a;b) ≠ (0;0)

-في مستوى منسوب إلى معلم مجموعة النقط (M (x;y حيث
ax +by +c =0 و (a;b) ≠ (0;0) هي المستقيم (D) الموجه ب
u(−b;a
المعادلة ax +by +c =0 حيث (a;b) ≠(0;0) تسمى معادلة ديكارتية للمستقيم (D ) الموجه ب (u (−b;a

*ملاحظة:


*لكل عدد حقيقي غير منعدم k , المعادلتان ax +by +c =0 و akx +bky +kc=0 متكافئين , فهما معادلتان لنفس المستقيم.

* للمستقيم مالا نهاية من المعادلات المتكافئة.


ب- حالات خاصة:

* المستقيم القاطع لمحوري المعلم :

يقطع مستقيم (D) محوري معلم في نقطتين مختلفتين (A (a;0 و (B (0;b إذا و فقط إذا كان للمستقيم (D) معادلة ديكارتية على شكل x/a+x/b=1
حيث a ≠ 0 ; b ≠ 0


* المستقيم الموازي لمحور الأراتيب:

يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع
x = c

ملاحظة:

ليكن (a;b) ≠ (0;0)
تكون ax +by +c =0 معادلة مستقيم مواز لمحور الأراتيب إذا و فقط إذا كان b =0

* المستقيم الموازي لمحور الأفاصيل:

يكون مستقيم مواز لمحور الأراتيب اذا و فقط آان له معادلة من نوع
y =c

* المستقيم غير الموازي لمحور الأراتيب:

(P ) مستوى منسوب إلى معلم
يكون المستقيم (D) غير مواز لمحور الأراتيب إذا وفقط إذا كانت معادلة (D ) على شكل y =mx+p .
-العدد m يسمى المعامل الموجه للمستقيم (D ) .
-المتجهة (u(1;m موجهة للمستقيم (D) .
-المعادلة y =mx+p تسمى المعادلة المختزلة للمستقيم (D) .

*ملاحظة:

إذا كان (u(α ;β موجهة لمستقيم غير مواز لمحور الأراتيب فان المعامل الموجه له هو العدد β/α .


- IIIالأوضاع النسبية لمستقيم:

1 -التوازي:

* ليكن (P) مستوى منسوب إلى معلم (O;i ; j ) و (a;b) ≠(0;0) و
(a';b')≠(0;0) .
نعتبر D2) :a'x+b'y+c' =0 ; (D1):ax+by+c=0)

(D1) // (D2 اذا و فقط اذا كان ab'− a'b =0.

* ليكن (P ) مستوى منسوب إلى معلم (O;i ; j ) و
'D1):y=mx+p ; (D2) :y=m'x+p)
(D1) // (D2 اذا و فقط اذا كان m=m'

2 -التقاطع:

ليكن (P) مستوى منسوب إلى معلم (O;i ; j )
و D1):y=mx+p ; (D2):y=m'x+p)
(D1 و (D2) متقاطعان اذا و فقط اذا كان m≠m'
-3 التعامد:

في مستوى منسوب إلى معلم م.م نعتبر
D):ax +by +c=0 ; (D') :a'x +b'y +c' = 0
حيث (a';b')≠(0;0) ; (a;b)≠(0;0)
(D1 ⊥ (D2 إذا و فقط إذا كان aa'+ bb'=0